Archiv der Kategorie: Mathematik

Teilbarkeitsregeln

Nutzen Sie diese , um schnell und problemlos zu testen, ob eine Zahl durch eine andere geteilt werden kann.

  • Jede Zahl ist durch 1 teilbar.
  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist.
  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn es ihre Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn es ihre letzten beiden Ziffern sind.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade und durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn es ihre alternierende 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn es ihre letzten drei Ziffern sind.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn es ihre Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
  • Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn es ihre 2er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn es ihre alternierende 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 14 teilbar, wenn sie gerade und durch 7 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet und durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn es ihre letzten vier Ziffern sind,
  • Eine Zahl ist durch 17 teilbar, wenn es ihre alternierende 8er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie gerade und durch 9 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 19 teilbar, wenn es ihre alternierende 9er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn sie mit vorletzter gerader Ziffer auf 0 endet.
  • Eine Zahl ist durch 21 teilbar, wenn es ihre 6er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 23 teilbar, wenn es ihre alternierende 11er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn es ihre letzten beiden Ziffern sind.
  • Eine Zahl ist durch 27 teilbar, wenn es ihre 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 33 teilbar, wenn es ihre 2er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn es ihre 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 41 teilbar, wenn es ihre 5er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 50 teilbar, wenn sie auf 00 ode 50 endet.
  • Eine Zahl ist durch 73 teilbar, wenn es ihre alternierende 4er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 77 teilbar, wenn es ihre alternierende 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 91 teilbar, wenn es ihre alternierende 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 99 teilbar, wenn ihre 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn sie auf 00 endet.
  • Eine Zahl ist durch 101 teilbar, wenn es ihre alternierende 2er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 111 teilbar, wenn es ihre 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 137 teilbar, wenn es ihre alternierende 4er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 143 teilbar, wenn es ihre alternierende 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 250 teilbar, wenn sie auf 000, 250, 500 oder 750 endet.
  • Eine Zahl ist durch 333 teilbar, wenn es ihre 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 500 teilbar, wenn sie auf 000 oder 500 endet.
  • Eine Zahl ist durch 999 teilbar, wenn es ihre 3er-Quersumme ist.
  • Eine Zahl ist durch 1000 teilbar, wenn sie auf 000 endet.
  • Eine Zahl ist durch 1001 teilbar, wenn es ihre alternierende 3er-Quersumme ist.
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Teilbarkeit

Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn diese andere Zahl ein oder ein Produkt der Primfaktoren ist.

Eine Zahl ist somit durch ihre Primfaktoren und deren Produkte teilbar.

Beispiel:

Die Zahl 1972 hat die Primfaktorzerlegung 2 · 2 · 17 · 29.

Damit folgt für die von 1972: 1972 ist

  • durch 2, 2 · 2, 17, 29,
  • durch 2 · 17, 2 · 29, 2 · 2 · 17, 2 · 2 · 29, 17 · 29 und
  • durch 2 · 17 · 29 teilbar.

Es gilt:

Zahl Teiler also Ergebnis
1972 2 2 986
1972 2 · 2 4 493
1972 17 17 116
1972 29 29 68
1972 2 · 17 34 58
1972 2 · 29 58 34
1972 2 · 2 · 17 68 29
1972 2 · 2 · 29 116 17
1972 17 · 29 493 4
1972 2 · 17 · 29 986 2

Für manche Teiler gibt es kurze, knackige Regeln – so genannte Teilbarkeitsregeln – mit denen Sie rasch testen können, ob eine Zahl durch diesen Teiler geteilt werden kann.

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Was ist das neutrale Element bezüglich der Vereinigung?

Das neutrale Element bezüglich der ist die Leere Menge ∅.

Da die Vereinigung einer beliebigen Menge und der Leeren Menge ∅ wieder die Menge ist, verhält sich ∅ neutral. Die Leere Menge ∅ bewirkt bei der Vereinigung nichts.

Es gilt:

M ∪ ∅ = M

und

M \ ∅ = M

Weitere neutrale Elemente:

 

 

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Was ist ein Querprodukt?

Das einer Zahl ist – ähnlich zur Quersumme – das Produkt ihrer Ziffern(werte).

Beispiel: Querprodukt

  • von 4 ist 4
  • von 74 ist 7 · 4 = 28
  • von 974 ist 9 · 7 · 4 = 252
  • von 1974 ist 1 · 9 · 7 · 4 = 252

Iteriertes Querprodukt
Das iterierte (oder einstellige) Querprodukt entsteht analog zur iterierten Quersumme dadurch, dass man von der Zahl das Querprodukt und dann jeweils von dem Querprodukt solange ein Querprodukt bildet, bis es eine einstellige Zahl ist. Es wird daher auch einstelliges Querprodukt genannt.

Beispiel: Iteriertes Querprodukt

  • von 4 ist 4
  • von 74 ist 7 · 4 = 28 ⇒ 2 · 8 = 16 ⇒ 1 · 6 = 6
  • von 974 ist 9 · 7 · 4 = 252 ⇒ 2 · 5 · 2 = 20 ⇒ 2 · 0 = 0
  • von 1974 ist 1 · 9 · 7 · 4 = 252 ⇒ 2 · 5 · 2 = 20 ⇒ 2 · 0 = 0
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Was ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation?

Das neutrale Element bezüglich der ist die Zahl 1.

Da das Produkt von einer Zahl und 1 wieder die Zahl ist, verhält sich der Faktor 1 neutral. 1 bewirkt bei der Multiplikation nichts.

Es gilt:

x · 1 = x

und

x : 1 = x

Weitere neutrale Elemente.

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