Archiv der Kategorie: Mathematik

Was ist eine Quersumme?

Es gibt mehrere Arten von Quersummen.

Die Quersumme (auch 1er-Quersumme) einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern(werte). Sie wird daher auch Ziffernsumme genannt.

Beispiel: Quersumme

  • von 2 ist 2
  • von 72 ist 7 + 2 = 9
  • von 972 ist 9 + 7 + 2 = 18
  • von 1972 ist 1 + 9 + 7 + 2 = 19

Iterierte Quersumme

Die iterierte Quersumme entsteht dadurch, dass man von der Zahl die Quersumme und dann jeweils von der Quersumme solange eine Quersumme bildet, bis sie eine einstellige Zahl ist. Sie wird daher auch einstellige Quersumme genannt.

Beispiel: Iterierte Quersumme

  • von 2 ist 2
  • von 72 ist 7 + 2 = 9
  • von 972 ist 9 + 7 + 2 = 18 ⇒ 1 + 8 = 9
  • von 1972 ist 1 + 9 + 7 + 2 = 19 ⇒ 1 + 9 = 10 ⇒ 1 + 0 = 1

Alternierende Quersumme

Die alternierende Quersumme (auch alternierende 1er-Quersumme) entsteht dadurch, dass man die Ziffern von rechts abwechselnd subtrahiert und addiert. Sie wird deshalb auch Querdifferenz genannt.

Beispiel: Alternierende Quersumme

  • von 2 ist 2
  • von 72 ist 2 – 7 = -5
  • von 972 ist 2 – 7 + 9 = 4
  • von 1972 ist 2 – 7 + 9 – 1 = 3

k-Quersumme

Die k-Quersumme (auch nichtalternierende k-Quersumme) entsteht dadurch, dass man die Zahl von rechts in Blöcke mit je k Ziffern unterteilt auf diese dann addiert.

Beispiel:

  • 2er-Quersumme von 19721972 ist 72 + 19 + 72 + 19 = 182
  • 3er-Quersumme von 19721972 ist 972 + 721 + 19 = 1712
  • 4er-Quersumme von 19721972 ist 1972 + 1972 = 3944

Alternierende k-Quersumme

Die alternierende k-Quersumme entsteht dadurch, dass man die Zahl von rechts in Blöcke mit je k Ziffern unterteilt auf diese dann abwechselnd subtrahiert und addiert.

Beispiel:

  • Alternierende 2er-Quersumme von 19721972 ist 72 – 19 + 72 – 19 = 106
  • Alternierende 3er-Quersumme von 19721972 ist 972 – 721 + 19 = 270
  • Alternierende 4er-Quersumme von 19721972 ist 1972 – 1972 = 0
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Was ist das neutrale Element bezüglich der Addition?

Das neutrale Element bezüglich der ist die Zahl 0.

Da die Summe aus einer Zahl und 0 wieder die Zahl ist, verhält sich 0 neutral.

0 bewirkt bei der Addition nichts. Es gilt:

x + 0 = x

und

x – 0 = x

Weitere neutrale Elemente:

das neutrale Element bezüglich der Multiplikation
das neutrale Element bezüglich der Vereinigung

 

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Was ist ein neutrales Element?

Ein sogenanntes neutrales Element ist in der Mathematik die Bezeichnung einer Zahl bzw. allgemeiner eines Elements, welches sich bei gewissen mathematischen Operationen neutral verhält.

Üblich sind

das neutrale Element bezüglich der , und
das neutrale Element bezüglich der .

Anderes ist denkbar, so zum Beispiel

das neutrale Element bezüglich der .

Das neutrale Element bezüglich der Addition
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist 0, denn es gilt:

x + 0 = x – 0 = x

Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist 1, denn es gilt:

x · 1 = x : 1 = x

Das neutrale Element bezüglich der Vereinigung
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist die leere Menge ∅, denn es gilt:

A ∪ ∅ = A \ ∅ = A

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Wie sind die Primzahlen bis 100?

Es gibt 25 kleiner 100.

Die Primzahlen bis 100 sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 und 97.

Sie können mit dem Sieb des Eratosthenes bestimmt werden.
Primzahlen bis 100 mit dem Sieb des
Schreiben Sie zunächst die Zahlen bis 100 auf. Eins ist nicht prim und kann direkt gestrichen werden.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Vielfache müssen nur für Primzahlen bis zur Wurzel von 100, also bis 10, gestrichen werden.

Die erste ungestrichene Zahl ist 2. Streichen Sie alle Vielfachen von 2, beginnend mit der Quadratzahl von 2: 4. Streichen Sie also: 4, 6, 8, 10, …, 96, 98, 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Die nächste ungestrichene Zahl ist 3. Streichen Sie alle Vielfachen von 3, beginnend mit der Quadratzahl von 3: 9. Streichen Sie also: 9, 12, 15, 18, …, 93, 96, 99

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Die nächste ungestrichene Zahl ist 5. Streichen Sie alle Vielfachen von 5, beginnend mit der Quadradzahl von 5: 25. Sie streichen: 25, 30, 35, …, 90, 95, 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Die nächste ungestrichene Zahl ist 7. Wieder streichen Sie alle Vielfachen von 7, beginnend mit der Quadradzahl von 7: 49. Gestrichen werden: 49, 56, 63, …, 84, 91, 98

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Wie sind die Primzahlen bis 10?

Es gibt vier bis 10. Es sind: 2, 3, 5 und 7.

Die Primzahlen bis 10 können zwar auch mit dem Sieb des Eratosthenes bestimmt werden. Bei diesem sehr kleinen Zahlenbereich können wir den Nachweis aber auch direkt für jede Zahl machen:

nicht prim.
prim, da zwei Teiler 1 und 2.
prim, da zwei Teiler 1 und 3.
ist 2*2 und hat somit die Teiler 1, 2 und 4.
prim, da zwei Teiler 1 und 5.
ist 2*3 und hat somit die Teiler 1, 2, 3 und 6.
prim, da zwei Teiler 1 und 7.
ist 2*2*2 = 2*4 und hat somit die Teiler 1, 2, 4 und 8.
ist 3*3 und hat somit die Teiler 1, 3 und 9.
ist 2*5 und hat somit die Teiler 1, 2, 5 und 10.

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