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Was ist das Sieb des Eratosthenes?

Das nach von Kyrene (ca. 275 v. Chr. – ca. 194 v. Chr.) als Sieb des benannte Verfahren dient der der bis zu einer beliebigen Grenze. Das Verfahren war schon lange vor Eratosthenes bekannt. Der vielseitige Gelehrte prägte jedoch den Begriff Sieb.

Wie funktioniert das Sieb des Eratosthenes?

Das Verfahren funktioniert so, dass man aus dem betrachteten Zahlenbereich alle Zahlen streicht, die keine Primzahlen sein können.

Übrig bleiben die Primzahlen im Zahlenbereich.

Dabei nutzt man die Bedingung für Primzahlen aus, dass eine Primzahl nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist. Eine Primzahl ist somit kein Vielfaches einer anderen Zahl, denn sonst wäre diese andere Zahl ja auch ein Teiler.

Anleitung für das Sieb des Eratosthenes

Schreiben Sie also alle Zahlen im betrachteten Zahlenbereich auf. Eins ist nicht prim und kann gestrichen werden.

Nun nehmen Sie jeweils die nächste noch nicht gestrichene Zahl – sie ist eine Primzahl, weil sie kein Vielfaches einer anderen ist.

Streichen Sie alle ihre Vielfachen, da diese nicht prim sein können.

Dies wiederholen Sie so lange, bis der Zahlenbereich erschöpft ist.

Optimierung des Sieb des Eratosthenes?

Zwei Beobachtungen beschleunigen das Verfahren deutlich:

  1. Mit den Streichungen der Vielfachen kann bei der Quadratzahl begonnen werden, da alle kleineren Vielfachen bereits durch vorhergehende Primzahlen abgedeckt sind.
  2. Die Streichungen selbst müssen nur bei Zahlen durchgeführt werden, die kleiner oder gleich der Wurzel der Zahl sind, die den Zahlenbereich begrenzt, da Primfaktoren einer zusammengesetzten Zahl immer kleiner oder gleich ihrer Wurzel sind.

Beispiel zum Sieb des Eratosthenes

Als beispielhafte Anwendung des Sieb des Eratosthenes bestimmen Sie mit ihm die Primzahlen bis 100.

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Gibt es eine gerade Primzahl?

Ja, es gibt genau eine gerade Primzahl: 2. 2 ist zugleich die kleinste Primzahl.

Begründung:

  • 2 ist eine Primzahl, denn 2 erfüllt die Primzahl-Bedingungen. Sie ist nur durch 1 und 2 teilbar und hat somit genau zwei unterschiedliche Teiler.
  • 2 ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl wäre auch durch 2 teilbar und hätte daher mindestens die drei Teiler 1, sich selbst und 2. Andere gerade Zahlen können somit nicht prim sein.
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Ist 1 eine Primzahl?

Nein, 1 ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler hat.

Zwar erfüllt 1 die Bedingung für Primzahlen, dass sie nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.

Sie erfüllt jedoch nicht die Bedingung, dass es zwei Teiler sein müssen.

1 hat nur genau den einen Teiler 1.

Man nennt daher 1 auch unechte Primzahl, denn eine echte Primzahl ist 1 nicht.

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Was sind Primzahlen?

sind positive, ganze Zahlen, die genau zwei unterschiedliche Teiler haben

  • 1 und
  • sich selbst.

Offenbar gilt:

  • Jede Zahl ist durch 1 teilbar, denn 1 ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation.
  • Jede Zahl ist durch sich selbst teilbar, mit dem Ergebnis 1.

Gibt es nur diese Teiler, so ist die Zahl eine Primzahl – sie ist prim.

Daraus folgt auch, dass 1 selbst nicht prim ist. Zwar ist 1 durch 1 teilbar. Und natürlich ist 1 durch sich selbst teilbar.

Es ist jedoch nur ein Teiler, womit die Bedingung nicht erfüllt ist.

Ein bekanntes Verfahren zur von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes.

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Kommutativgesetz – Gesetz der Vertauschung

Das ist das Gesetz der Vertauschung. Es sagt aus, dass das Ergebnis der Operation nicht von der Reihenfolge der Operanden abhängt.

Es gilt zum Beispiel für Addition und Multiplikation.

Kommutativgesetz der Addition

Das Ergebnis der Addition ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden.

  • Beispiel: 1 + 2 = 2 + 1
     
    +
     
     
    =
     
     
    +
     
     
     
     
    =
     
     
     
  • Beispiel: 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1
     
    +
     
     
    +
     
     
     
    =
     
     
     
    +
     
    +
     
     
     
     
     
     
     
     
    =
     
     
     
     
     
     

Hinweis
Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion, da zum Beispiel 2 – 1 ≠ 1 – 2.

Kommutativgesetz der Multiplikation

Das Ergebnis der Multiplikation ist unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.

  • Beispiel: 2 · 3 = 3 · 2
     
     
     
    +
     
     
     
    =
     
     
    +
     
     
    +
     
     
     
     
     
     
     
     
    =
     
     
     
     
     
     
  • Beispiel: 2 · 3 · 4 = 4 · 3 · 2

Hinweis Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division, da zum Beispiel 2 : 1 ≠ 1 : 2.

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