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Kommutativgesetz – Gesetz der Vertauschung

Das ist das Gesetz der Vertauschung. Es sagt aus, dass das Ergebnis der Operation nicht von der Reihenfolge der Operanden abhängt.

Es gilt zum Beispiel für Addition und Multiplikation.

Kommutativgesetz der Addition

Das Ergebnis der Addition ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden.

  • Beispiel: 1 + 2 = 2 + 1
     
    +
     
     
    =
     
     
    +
     
     
     
     
    =
     
     
     
  • Beispiel: 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1
     
    +
     
     
    +
     
     
     
    =
     
     
     
    +
     
    +
     
     
     
     
     
     
     
     
    =
     
     
     
     
     
     

Hinweis

Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion, da zum Beispiel 2 – 1 ≠ 1 – 2.

Kommutativgesetz der Multiplikation

Das Ergebnis der Multiplikation ist unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren.

  • Beispiel: 2 · 3 = 3 · 2
     
     
     
    +
     
     
     
    =
     
     
    +
     
     
    +
     
     
     
     
     
     
     
     
    =
     
     
     
     
     
     
  • Beispiel: 2 · 3 · 4 = 4 · 3 · 2

Hinweis

Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division, da zum Beispiel 2 : 1 ≠ 1 : 2.

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Assoziativgesetz – Gesetz der Verknüpfung

Das ist das Gesetz der Verknüpfung. Es wir auch Gesetz der Verbindung genannt. Es sagt aus, dass das Ergebnis der Operation nicht von der Reihenfolge der Ausführung abhängt. Klammert man also Teile, spielt ihre Reihenfolge keine Rolle.

Es gilt zum Beispiel für Addition und Multiplikation.

Assoziativgesetz der Addition

Das Ergebnis der Addition ist unabhängig von Klammerung.

Beispiel: ( 1 + 2 ) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + ( 2 + 3 )

Hinweis: Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Subtraktion.

Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Ergebnis der Multiplikation ist unabhängig von Klammerung.

Beispiel: ( 1 · 2 ) · 3 = 2 · 3 = 6 = 1 · 6 = 1 · ( 2 · 3 )

Hinweis: Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Division.

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Distributivgesetz – Gesetz der Verteilung

Das ist das Gesetz der Verteilung. Es sagt aus, das sich zwei zweistellige Operationen verträglich zueinander verhalten.

Es gilt sowohl für die kommutativen Operationen (Addition und Multiplikation) wie auch für die nicht-kommutativen Operationen (Subtraktion und Division).

Allerdings entscheidet die Kommutativität der Punkt-Operation (Multiplikation bzw. Division), ob Links- und Rechtdistributivität vorliegt, oder nur die Rechtdistributivität gilt.

Distributivgesetz für Multiplikation

Multiplikation ist kommutativ.

Die Kombination von Addition/Subtraktion und Multiplikation ist sowohl links- als auch rechtsdistributiv.

Linksdistributivität:

Beispiel: 4 · (2 + 3) = 4 · 5 = 20 = 8 + 12 = 4 · 2 + 4 · 3
Beispiel: 4 · (2 – 3) = 4 · (-1) = -4 = 8 – 12 = 4 · 2 – 4 · 3

Rechtsdistributivität:

Beispiel: (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 = 8 + 12 = 2 · 4 + 3 · 4
Beispiel: (2 – 3) · 4 = (-1) · 4 = -4 = 8 – 12 = 2 · 4 – 3 · 4

Distributivgesetz für Division

Division ist nicht kommutativ. Die Kombination von Addition/Subtraktion und Division ist daher ausschließlich rechtsdistributiv.

Beispiel: (2 + 3) : 4 = 5 : 4 = 5/4 = 2 : 4 + 3 : 4
Beispiel: (2 – 3) : 4 = (-1) : 4 = -1/4 = 2 : 4 – 3 : 4

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